2006-16: Expected Utility Hypothesis

Expected Utility Hypothesis

2006년 12월 12일(화)

※오늘 오전 재무관리시간에 독고교수님께 배운 흥미로운 이론이다. 잊어먹지 않기 위해 적어둔다.

두개의 복권이 있다. A는 이기면 36원을 지면 4원을 준다. B는 이기면 49원을, 지면 0원이다. 당신은 어느 복권을 선택할 것인가? 그리고 각 복권에 얼마의 돈을 기꺼이 지불할 수 있는가? 폰 노이만 아저씨은 Expected Utility Hypothesis(이한 EUH)라는 논문을 발표하여 우리의 궁금증을 해결해준다. 혹시 기대값이라는 말을 들어보았나? 그것을 통해 적정가격을 구해본다.

E(A) = 0.5 * 36 + 0.5 * 4 = 20원
E(B) = 0.5 * 49 + 0.5 * 0 = 24.5원

기대값을 통해 계산해본바로는 복권B가 유리하다. 기대값보다 높은 가격에는 사지 않을 것이다. 이번엔, 그의 가설에 따라 기대효용을 구해보자. 중요한 것은 사람의 선택은 기대값에 의존하는 것이 아니라 각 개인의 효용함수(utility function)의 값에 의존한다는 것이다. 그러면 아래와 같이 A와 B에 대한 기대효용(expected utility)를 구할 수 있다.

E[u(A)] = 0.5 * u(36) + 0.5 * u(4)
E(u(B)] = 0.5 * u(49) + 0.5 * u(0)

아차! u(x)함수를 정의해야 한다. 상식적으로 한계 효용체감의 법칙을 적용하여 u(x) = sqrt(x)라고 하자. sqrt는 제곱근을 의미한다. 위의 식에 u(x)를 대입하면 결과는 아래와 같다.

E[(u(A)] = 4 utilities
E[(u(B)] = 3.5 utilites
A의 복권가격: 16원 (u(16) = 4)
B의 복권가격: 12.25원 (u(12.25) = 3.5 )

흥미로운 결과가 나왔다. A는 기대값이 작은데 가격이 높고, B는 기대값이 높은데 가격이 낮을까? 왜냐하면, 위험부담때문이다. 게임을 흥미롭게 만들기 위해 각각의 단위를 10만원으로 변경해보자. 예를 들면 복권A의 상금은 각각 360만원, 40만원이고 복권의 가격은 160만원이다. 한편 복권B는 각각 490만원, 0원이고 복권의 가격은 122만원이 된다.

만약 0원이 되면 생활이 불가능한 사람이 있다고 하자. 그런 사람은 당연히 A를 선택할 것이다. 하지만 나는 경제적인 사람인 만큼, 1원당의 효용을 구해보겠다. 아래와 같이 나는 B를 선택할 것이다.

A의 1원당 효용: 0.25util/원
B의 1원당 효용: 0.28util/원

예를 들어 0원에 대한 부담이 없는 사람은 최적의 '1원당 효용'에다가 배팅을 할 수 있는 것이다. 하지만 생계에 부담이 있는 사람은 risk를 짊어질 수 없다.

여기에서도 '강자' 혹은 '부자'가 게임에서 승리할 확률이 더 높다는 생활의 진리를 찾을 수 있는가!